Het gebruik van KmPlotInhoudsopgave
KmPlot kent diverse soorten functies, die in de vorm van een functie of als een vergelijking kunnen worden geschreven:
Cartesische plots kunnen bijvoorbeeld als “y = x^2” worden geschreven, waarin x moet worden gebruikt als de variabele, of als bijvoorbeeld “f(a) = a^2”, waarin de naam van de variabele willekeurig is.
Bij parametrische plots gaat het net zo als bij cartesische. De x- en y-coördinaten kunnen worden ingevoerd als vergelijkingen van t, bijv. “x = sin(t)”, “y = cos(t)”, of als functies, bijv. “f_x(s) = sin(s)”, “f_y(s) = cos(s)”.
Ook bij pooldiagrammen gaat het net zo als bij cartesische plots. Zij kunnen als een vergelijking worden ingevoerd in θ, bijvoorbeeld “r = θ”, of als eenfunctie, bijvoorbeeld “f(x) = x”.
Bij impliciete plots wordt de naam van de functie apart ingevoerd van de expressie voor de relatie tussen de x- en y-coördinaten. Indien de x- en y- variabelen worden gegeven via de naam van de functie (door bijvoorbeeld “f(a,b)” in te voeren als de functienaam), dan worden de hierin genoemde variabelen (hier dus a en b) gebruikt. Anders worden voor de variabelen de letters x en y gebruikt.
Bij expliciete plots van differentiaalvergelijkingen wordt de hoogste afgeleide uitgedrukt in termen van de lagere afgeleiden. Afgeleiden worden gekenmerkt met een of meer '-tekens. In de vorm van een functie is dit zoiets als “f''(x) = f' − f”. In de vorm van een vergelijking ziet het eruit als “y'' = y' − y”. Merk op dat in beide gevallen het “(x)”-gedeelte niet wordt toegevoegd aan de termen met de lagere afgeleiden (dus is de invoer als “f'(x) = −f” en niet als “f'(x) = −f(x)”).
U kunt alle invoervakken voor vergelijkingen verkrijgen met een knop rechts. Hierop klikken geeft de geavanceerde dialoog voor de Vergelijkingbewerker waarin u vindt:
Een aantal wiskundige symbolen die u kunt gebruiken in vergelijkingen, maar die u niet zult aantreffen op normale toetsenborden.
De lijst van constanten voor de gebruiker, en een knop om ze te kunnen bewerken.
De lijst van voorgedefiniëerde functies. Merk op dat al u reeds geselecteerde tekst heeft, deze zal worden gebruikt als het functieargument als er een functie wordt ingevoegd. Bijvoorbeeld, indien “1 + x” is geselecteerd in de vergelijking “y = 1 + x”, en daarna de sinusfunctie wordt gekozen,dan wordt de vergelijking “ y = sin(1+x)”.
U kunt als volgt een expliciete functie (dit is een functie in de vorm y=f(x)) in KmPlot invoeren,:
f(x) = expressiewaarin:
fde naam is van de functie, die elke rij van tekens en cijfers kan zijn.xis de x-coördinaat, te gebruiken in de expressie rechts van het =-teken. Het is in een dummyvariabele, u kunt dus elke naam voor de variabele gebruiken die u wilt.expressiede expressie is die moet worden geplot, gegeven in de juiste syntax voor KmPlot. Zie de paragraaf met de naam “Wiskundige syntaxis”.
In parametrische functies worden de x- en de y-coördinaten als afzonderlijke functies gedefinieerd van een andere variabele (parameter), vaak t (van: tijd) genoemd. Om in KmPlot een parametrische functie in te voeren, volgt u dezelfde werkwijze vooor de beide x- en y-functies als voor een cartesische functie. Net als bij cartesische functies kunt u voor de parameter elke naam gebruiken die u wenst.
Als voorbeeld stellen we dat u een cirkel wilt tekenen, met de parametrische vergelijkingen x=sin(t) en y=cos(t). Na het aanmaken van een parametrische plot voert u deze vergelijkingen in in de juiste x- en y- invoervakken; dus als f_x(t)=sin(t) en f_y(t)=cos(t).
U kunt in deze dialoog nog enkele andere opties voor de plot instellen:
- Min:, Max:
Met deze opties bepaalt u het interval voor de parameter t waarop de functie wordt geplot.
In poolcoördinaten wordt een punt gegeven door zijn afstand tot de oorsprong (meestal r genoemd), en de hoek die de lijn, vanuit de oorsprong door het punt getrokken, maakt met de (positieve) x-as (gewoonlijk met de Griekse letter theta (θ)aangeduid). Om functies in poolcoördinaten in te voeren drukt u op de knop Aanmaken, en kiest u Pooldiagram in de lijst. In het het hiervoor bestemde vak voert u de functiedefinitie in, met de door u gewenste naam voor de theta-variabele. bijv., om de spiraal van Archimedes, r = θ, te tekenen, voert u in
r(θ) = θ. Merk op dat u voor de theta-variabele iedere willekeurige naam kunt gebruiken, zodat u met “r(t)=t”, of “f(x) = x” precies hetzelfde resultaat krijgt.
In een impliciete relatie wordt een vergelijking gegeven waarin x en y op een gelijkwaardige manier voorkomen. Om een cirkel te maken bijvoorbeeld, maakt u een nieuwe impliciete plot aan met de knop Aanmaken, en kiest u in de lijst Impliciete Plot. Daarna voert u de volgende vergelijking in in het invoervak hiervoor (onder dat voor de functienaam):
x^2 + y^2 = 25
In KmPlot kunnen expliciete differentiële functies worden geplot. Dit zijn functies met de vorm y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), waarin yk de k-de afgeleide is van y(x). KmPlot kan alleen de orde van de afgeleide functie bepalen aan de hand van het aantal '-tekens achter de naam van de functie. Voor het tekenen van een sinuskromme, bijvoorbeeld, kunt u de differentiaalvergelijking y'' = − y gebruiken (Uitleg: y=sin(x) -> y'=cos(x) -> y''=−sin(x)=−y).
Maar een differentiaalvergelijking is op zichzelf niet voldoende voor het tekenen van een plot. Elke kromme in de plot wordt gegenereerd door een combinatie van de differentiaalvergelijking en de randvoorwaarden. U kunt de randvoorwaarden bewerken in het tabblad Randvoorwaarden wanneer u een differentiaalvergelijking selecteert. Het aantal kolommen dat beschikbaar is voor het bewerken van de randvoorwaarden is afhankelijk van de orde van de differentiaalvergelijking.
U kunt in deze dialoog nog enkele andere opties voor de plot instellen:
- Stap:
De stapwaarde in het vak nauwkeurigheid wordt gebruikt bij het numeriek oplossen van de differentiaalvergelijking (met de Runge Kutta methode). Het is de waarde van de grootste stap die wordt gebruikt; een kleinere stap kan worden gebruikt indien er voldoende op een gedeelte van de plot van de differentiaalvergelijking wordt ingezoomd.