Специальные функцииБолее подробную информацию об этих функциях можно найти в документации к GNU Scientific Library (GSL).
| Функция | Описание |
|---|---|
| Ai(x) | Функция Эйри Ai(x) |
| Bi(x) | Функция Эйри Bi(x) |
| Ais(x) | Масштабированная функция Эйри SAi(x) |
| Bis(x) | Масштабированная функция Эйри SBi(x) |
| Aid(x) | Производная функции Эйри Ai'(x) |
| Bid(x) | Производная функции Эйри Bi'(x) |
| Aids(x) | Производная масштабированной функции Эйри SAi(x) |
| Bids(x) | Производная масштабированной функции Эйри SBi(x) |
| Ai0(s) | s-й нуль функции Эйри Ai(x) |
| Bi0(s) | s-й нуль функции Эйри Bi(x) |
| Aid0(s) | s-й нуль производной функции Эйри Ai'(x) |
| Bid0(s) | s-й нуль производной функции Эйри Bi'(x) |
| J0(x) | Регулярная цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, J0(x) |
| J1(x) | Регулярная цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, J1(x) |
| Jn(n,x) | Регулярная цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка, Jn(x) |
| Y0(x) | Нерегулярная цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, Y0(x) |
| Y1(x) | Нерегулярная цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, Y1(x) |
| Yn(n,x) | Нерегулярная цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка, Yn(x) |
| I0(x) | Регулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, I0(x) |
| I1(x) | Регулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, I1(x) |
| In(n,x) | Регулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка, In(x) |
| I0s(x) | Масштабированная регулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, exp (-|x|) I0(x) |
| I1s(x) | Масштабированная регулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, exp(-|x|) I1(x) |
| Ins(n,x) | Масштабированная регулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка, exp(-|x|) In(x) |
| K0(x) | Нерегулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, K0(x) |
| K1(x) | Нерегулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, K1(x) |
| Kn(n,x) | Нерегулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка, Kn(x) |
| K0s(x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя нулевого порядка, exp(x) K0(x) |
| K1s(x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя первого порядка, exp(x) K1(x) |
| Kns(n,x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная цилиндрическая функция Бесселя n-го порядка, exp(x) Kn(x) |
| j0(x) | Регулярная сферическая функция Бесселя нулевого порядка, j0(x) |
| j1(x) | Регулярная сферическая функция Бесселя первого порядка, j1(x) |
| j2(x) | Регулярная сферическая функция Бесселя второго порядка, j2(x) |
| jl(l,x) | Регулярная сферическая функция Бесселя l-го порядка, jl(x) |
| y0(x) | Нерегулярная сферическая функция Бесселя нулевого порядка, y0(x) |
| y1(x) | Нерегулярная сферическая функция Бесселя первого порядка, y1(x) |
| y2(x) | Нерегулярная сферическая функция Бесселя второго порядка, y2(x) |
| yl(l,x) | Нерегулярная сферическая функция Бесселя l-го порядка, yl(x) |
| i0s(x) | Масштабированная регулярная модифицированная сферическая функция Бесселя нулевого порядка, exp(-|x|) i0(x) |
| i1s(x) | Масштабированная регулярная модифицированная сферическая функция Бесселя первого порядка, exp(-|x|) i1(x) |
| i2s(x) | Масштабированная регулярная модифицированная сферическая функция Бесселя второго порядка, exp(-|x|) i2(x) |
| ils(l,x) | Масштабированная регулярная модифицированная сферическая функция Бесселя l-го порядка, exp(-|x|) il(x) |
| k0s(x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная сферическая функция Бесселя нулевого порядка, exp(x) k0(x) |
| k1s(x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная сферическая функция Бесселя первого порядка, exp(x) k1(x) |
| k2s(x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная сферическая функция Бесселя второго порядка, exp(x) k2(x) |
| kls(l,x) | Масштабированная нерегулярная модифицированная сферическая функция Бесселя l-го порядка, exp(x) kl(x) |
| Jnu(ν,x) | Регулярная цилиндрическая функция Бесселя дробного порядка ν, Jν(x) |
| Ynu(ν,x) | Нерегулярная цилиндрическая функция Бесселя дробного порядка ν, Yν(x) |
| Inu(ν,x) | Регулярная модифицированная функция Бесселя дробного порядка ν, Iν(x) |
| Inus(ν,x) | Масштабируемая регулярная модифицированная функция Бесселя дробного порядка ν, exp(-|x|) Iν(x) |
| Knu(ν,x) | Нерегулярная модифицированная функция Бесселя дробного порядка ν, Kν(x) |
| lnKnu(ν,x) | Логарифм нерегулярной модифицированной функции Бесселя дробного порядка ν,ln(Kν(x)) |
| Knus(ν,x) | Масштабируемая нерегулярная модифицированная функция Бесселя дробного порядка ν, exp(|x|) Kν(x) |
| J0_0(s) | s-й положительный нуль функции Бесселя J0(x) |
| J1_0(s) | s-й положительный нуль функции Бесселя J1(x) |
| Jnu_0(nu,s) | s-й положительный нуль функции Бесселя Jν(x) |
| clausen(x) | Интеграл Клаузена Cl2(x) |
| hydrogenicR_1(Z,R) | Нормированная радиальная волновая функция основного состояния водорода R1 := 2Z √Z exp(-Z r) |
| hydrogenicR(n,l,Z,R) | Нормированная радиальная волновая функция n-го состояния водорода |
| dawson(x) | Интеграл Доусона |
| D1(x) | Функция Дебая первого порядка D1(x) = (1/x) ∫0x(t/(et - 1)) dt |
| D2(x) | Функция Дебая второго порядка D2(x) = (2/x2) ∫0x (t2/(et - 1)) dt |
| D3(x) | Функция Дебая третьего порядка D3(x) = (3/x3) ∫0x (t3/(et - 1)) dt |
| D4(x) | Функция Дебая четвёртого порядка D4(x) = (4/x4) ∫0x (t4/(et - 1)) dt |
| D5(x) | Функция Дебая пятого порядка D5(x) = (5/x5) ∫0x (t5/(et - 1)) dt |
| D6(x) | Функция Дебая шестого порядка D6(x) = (6/x6) ∫0x (t6/(et - 1)) dt |
| Li2(x) | Дилогарифм |
| Kc(k) | Полный эллиптический интеграл K(k) |
| Ec(k) | Полный эллиптический интеграл E(k) |
| F(phi,k) | Неполный эллиптический интеграл F(phi,k) |
| E(phi,k) | Неполный эллиптический интеграл E(phi,k) |
| P(phi,k,n) | Неполный эллиптический интеграл P(phi,k,n) |
| D(phi,k,n) | Неполный эллиптический интеграл D(phi,k,n) |
| RC(x,y) | Неполный эллиптический интеграл RC(x,y) |
| RD(x,y,z) | Неполный эллиптический интеграл RD(x,y,z) |
| RF(x,y,z) | Неполный эллиптический интеграл RF(x,y,z) |
| RJ(x,y,z) | Неполный эллиптический интеграл RJ(x,y,z,p) |
| erf(x) | Функция ошибок erf(x) = 2/√π ∫0x exp(-t2) dt |
| erfc(x) | Дополнительная функция ошибок erfc(x) = 1 - erf(x) = 2/√π ∫x∞ exp(-t2) dt |
| log_erfc(x) | Логарифм дополнительной функции ошибок log(erfc(x)) |
| erf_Z(x) | Гауссова функция вероятности Z(x) = (1/(2π)) exp(-x2/2) |
| erf_Q(x) | Верхний хвост Гауссовой функции вероятности Q(x) = (1/(2π)) ∫x∞ exp(-t2/2) dt |
| hazard(x) | Функция риска для нормального распределения |
| exp(x) | Показательная функция с основанием e |
| expm1(x) | exp(x) - 1 |
| exp_mult(x,y) | Возвести в степень x и умножить на y, чтобы вернуть произведение y exp(x) |
| exprel(x) | (exp(x)-1)/x с алгоритмом, являющимся точным для малых x |
| exprel2(x) | 2(exp(x)-1-x)/x2 с алгоритмом, являющимся точным для малых x. |
| expreln(n,x) | Экспоненциальная функция n-ой относительной погрешности, которая является n-м обобщением функций «exprel» |
| E1(x) | Интегральная показательная функция E1(x), E1(x) := Re ∫1∞ exp(-xt)/t dt |
| E2(x) | Интегральная показательная функция второго порядка E2(x), E2(x) := Re ∫1∞ exp(-xt)/t2 dt |
| En(x) | Интегральная показательная функция E_n(x) n-го порядка, En(x) := Re ∫1∞ exp(-xt)/tn dt) |
| Ei(x) | Интегральная показательная функция E_i(x), Ei(x) := PV(∫-x∞ exp(-t)/t dt) |
| shi(x) | Shi(x) = ∫0x sinh(t)/t dt |
| chi(x) | Интеграл Chi(x) := Re[ γE + log(x) + ∫0x (cosh[t]-1)/t dt ] |
| Ei3(x) | Интегральная показательная функция Ei3(x) = ∫0x exp(-t3) dt, где x >= 0 |
| si(x) | Интегральный синус Si(x) = ∫0x sin(t)/t dt |
| ci(x) | Интегральный косинус Ci(x) = -∫x∞ cos(t)/t dt для x > 0 |
| atanint(x) | Интегральный арктангенс AtanInt(x) = ∫0x arctan(t)/t dt |
| Fm1(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака с индексом -1, F-1(x) = ex / (1 + ex) |
| F0(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака с индексом 0, F0(x) = ln(1 + ex) |
| F1(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака с индексом 1, F1(x) = ∫0∞ (t /(exp(t-x)+1)) dt |
| F2(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака с индексом 2, F2(x) = (1/2) ∫0∞ (t2 /(exp(t-x)+1)) dt |
| Fj(j,x) | Полный интеграл Ферми-Дирака с индексом j, Fj(x) = (1/Γ(j+1)) ∫0∞ (tj /(exp(t-x)+1)) dt |
| Fmhalf(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака F-1/2(x) |
| Fhalf(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака F1/2(x) |
| F3half(x) | Полный интеграл Ферми-Дирака F3/2(x) |
| Finc0(x,b) | Неполный интеграл Ферми-Дирака с индексом 0, F0(x,b) = ln(1 + eb-x) - (b-x) |
| lngamma(x) | Логарифм гамма-функции |
| gammastar(x) | Упорядоченная гамма-функция Γ*(x), где x > 0 |
| gammainv(x) | Обратная гамма-функция, 1/Γ(x) с методом Ланчоса |
| fact(n) | Факториал: n! |
| doublefact(n) | Двойной факториал n!! = n(n-2)(n-4)... |
| lnfact(n) | Логарифм факториала n, log(n!) |
| lndoublefact(n) | Логарифм двойного факториала log(n!!) |
| choose(n,m) | Комбинаторный коэффициент «n по m» = n!/(m!(n-m)!) |
| lnchoose(n,m) | Логарифм комбинаторного коэффициента «n по m» |
| taylor(n,x) | Коэффициент Тейлора xn / n! для x >= 0, n >= 0 |
| poch(a,x) | Символ Похгаммераx := Γ(a + x)/Γ(x) |
| lnpoch(a,x) | Логарифм символа Похгаммера (a)x := Γ(a + x)/Γ(x) |
| pochrel(a,x) | Относительный символ Похгаммера ((a,x) - 1)/x, где (a,x) = (a)x := Γ(a + x)/Γ(a) |
| gammainc(a,x) | Неполная гамма-функция Γ(a,x) = ∫x∞ ta-1 exp(-t) dt для a > 0, x >= 0 |
| gammaincQ(a,x) | Нормированная неполная гамма-функцияя P(a,x) = 1/Γ(a) ∫x∞ ta-1 exp(-t) dt для a > 0, x >= 0 |
| gammaincP(a,x) | Дополнительная нормированная неполная гамма-функция P(a,x) = 1/Γ(a) ∫0x ta-1 exp(-t) dt, где a > 0, x >= 0 |
| beta(a,b) | Бета-функция, B(a,b) = Γ(a) Γ(b)/Γ(a+b) для a > 0, b > 0 |
| lnbeta(a,b) | Логарифм бета-функции, log(B(a,b)) для a > 0, b > 0 |
| betainc(a,b,x) | Нормированная неполная бета-функция B_x(a,b)/B(a,b) для a > 0, b > 0 |
| C1(λ,x) | Многочлен Гегенбауэра Cλ1(x) |
| C2(λ,x) | Многочлен Гегенбауэра Cλ2(x) |
| C3(λ,x) | Многочлен Гегенбауэра Cλ3(x) |
| Cn(n,λ,x) | Многочлен Гегенбауэра Cλn(x) |
| hyperg_0F1(c,x) | Функция гипергеометрического распределения 0F1(c,x) |
| hyperg_1F1i(m,n,x) | Вырожденная гипергеометрическая функция 1F1(m,n,x) = M(m,n,x) для целых значений m, n |
| hyperg_1F1(a,b,x) | Вырожденная гипергеометрическая функция 1F1(a,b,x) = M(a,b,x) для общих параметров a,b |
| hyperg_Ui(m,n,x) | Вырожденная гипергеометрическая функция U(m,n,x) для целых параметров m,n |
| hyperg_U(a,b,x) | Вырожденная гипергеометрическая функция U(a,b,x) |
| hyperg_2F1(a,b,c,x) | Гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(a,b,c,x) |
| hyperg_2F1c(aR,aI,c,x) | Гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(aR + i aI, aR - i aI, c, x) со сложными параметрами |
| hyperg_2F1r(aR,aI,c,x) | Перенормированная гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(a,b,c,x) / Γ(c) |
| hyperg_2F1cr(aR,aI,c,x) | Перенормированная гипергеометрическая функция Гаусса 2F1(aR + i aI, aR - i aI, c, x) / Γ(c) |
| hyperg_2F0(a,b,x) | Гипергеометрическая функция 2F0(a,b,x) |
| L1(a,x) | Обобщённые многочлены Лагерра La1(x) |
| L2(a,x) | Обобщённые многочлены Лагерра La2(x) |
| L3(a,x) | Обобщённые многочлены Лагерра La3(x) |
| W0(x) | Основная ветвь W-функции Ламберта, W0(x) |
| Wm1(x) | Второстепенная вещественная ветвь W-функции Ламберта, W-1(x) |
| P1(x) | Многочлены Лежандра P1(x) |
| P2(x) | Многочлены Лежандра P2(x) |
| P3(x) | Многочлены Лежандра P3(x) |
| Pl(l,x) | Многочлены Лежандра Pl(x) |
| Q0(x) | Многочлены Лежандра Q0(x) |
| Q1(x) | Многочлены Лежандра Q1(x) |
| Ql(l,x) | Многочлены Лежандра Ql(x) |
| Plm(l,m,x) | Присоединённый многочлен Лежандра Plm(x) |
| Pslm(l,m,x) | Нормализованный присоединённый многочлен Лежандра √{(2l+1)/(4π)} √{(l-m)!/(l+m)!} Plm(x) подходит для использования в сферических функциях |
| Phalf(λ,x) | Нерегулярная сферо-коническая функция P1/2-1/2 + i λ(x), где x > -1 |
| Pmhalf(λ,x) | Регулярная сферо-коническая функция P-1/2-1/2 + i λ(x), где x > -1 |
| Pc0(λ,x) | Коническая функция P0-1/2 + i λ(x) для x > -1 |
| Pc1(λ,x) | Коническая функция P1-1/2 + i λ(x) для x > -1 |
| Psr(l,λ,x) | Регулярная сферо-коническая функция P-1/2-l-1/2 + i λ(x) для x > -1, l >= -1 |
| Pcr(l,λ,x) | Регулярная цилиндро-коническая функция P-m-1/2 + i λ(x) для x > -1, m >= -1 |
| H3d0(λ,η) | Нулевая радиальная собственная функция лапласиана на трёхмерном гиперболическом пространстве, LH3d0(λ,,η) := sin(λ η)/(λ sinh(η)), где η >= 0 |
| H3d1(λ,η) | Нулевая радиальная собственная функция лапласиана на трёхмерном гиперболическом пространстве, LH3d1(λ,η) := 1/√{λ2 + 1} sin(λ η)/(λ sinh(η)) (coth(η) - λ cot(λ η)), где η >= 0 |
| H3d(l,λ,η) | L-я радиальная собственная функция лапласиана на трёхмерном гиперболическом пространстве eta >= 0, l >= 0 |
| logabs(x) | Логарифм амплитуды X, log(|x|) |
| logp(x) | log(1 + x) для x > -1 с алгоритмом, точным для малых x |
| logm(x) | log(1 + x) - x for x > -1 с алгоритмом, точным для малых x |
| psiint(n) | Дигамма-функция ψ(n) для положительного целого числа n |
| psi(x) | Дигамма-функция ψ(n) для общего x |
| psi1piy(y) | Вещественная часть дигамма-функции в строке 1+i y, Re[ψ(1 + i y)] |
| psi1int(n) | Тригамма-функция ψ'(n) для положительного целого числа n |
| psi1(n) | Тригамма-функция ψ'(x) для общего x |
| psin(m,x) | Полигамма-функция ψ(m)(x) for m >= 0, x > 0 |
| synchrotron1(x) | Первая функция синхротрона x ∫x∞ K5/3(t) dt для x >= 0 |
| synchrotron2(x) | Вторая функция синхротрона x K2/3(x) for x >= 0 |
| J2(x) | Транспортная функция J(2,x) |
| J3(x) | Транспортная функция J(3,x) |
| J4(x) | Транспортная функция J(4,x) |
| J5(x) | Транспортная функция J(5,x) |
| zetaint(n) | Дзета функция Римана ζ(n) для целого числа n |
| zeta(s) | Дзета функция Римана ζ(s) для произвольных чисел s |
| zetam1int(n) | Функция Римана ζминус 1 для целого числа n |
| zetam1(s) | Функция Римана ζ минус 1 |
| zetaintm1(s) | Функция Римана ζ для целого числа n минус 1 |
| hzeta(s,q) | Дзета-функция Гурвица ζ(s,q), где s > 1, q > 0 |
| etaint(n) | Эта-функция η(n) для целого числа n |
| eta(s) | Эта-функция η(s) для произвольного значения s |